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title: "Évolution d'un qubit sur la sphère de Bloch"
date: "2016-07-05"
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Nous avons vu comment un qubit, à un facteur de phase près, se représente sur [la sphère de Bloch](http://stla.github.io/stlapblog/posts/BlochSphere.html). 
Lorsqu'on considère les qubits à un facteur de phase près, on peut donc visualiser la solution de [l'équation de Schrödinger](http://stla.github.io/stlapblog/posts/PrQuantique_Intro.html) sur la sphère de Bloch à l'aide de cette représentation. 
Nous allons voir que la trajectoire de la solution donne toujours un cercle sur la sphère de Bloch. 

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Ce résultat est obtenu à l'aide des *matrices de Pauli*. 
Ce sont les trois matrices auto-adjointes suivantes : 
$$
X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad 
Y = \begin{pmatrix} 0 & i \\ -i & 0 \end{pmatrix}, \quad 
Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}.
$$
Les quatre matrices $I$, $X$, $Y$ et $Z$ sont orthogonales, elles forment donc une base de l'espace des matrices $2\times 2$ complexes. 
Puisqu'elles sont orthogonales, les coefficients $a$, $b_x$, $b_y$ et $b_z$ tels que 
$$
M = aI + b_x X + b_y Y + b_z Z
$$
pour une matrice $M$ donnée, s'obtiennent à l'aide des produits scalaires de $M$ par chacune de ces matrices, et il est alors facile de voir que $a$, $b_x$, $b_y$ et $b_z$ sont des nombres réels lorsque $M$ est une matrice auto-adjointe. 

Ainsi, si $M$ est auto-adjointe, on a 
$$
{\mathrm{e}}^{-it M} = {\mathrm{e}}^{-it aI} {\mathrm{e}}^{-it (b_x X + b_y Y + b_z Z)} 
= {\mathrm{e}}^{-it a} R_{\vec{n}}(2 \lambda t)
$$
où l'on note $\lambda = \sqrt{b_x^2+b_y^2+b_z^2}$, $\vec{n} = (n_x, n_y, n_z)$ où 
$n_x=b_x/\lambda$, $n_y=b_y/\lambda$, $n_z=b_z/\lambda$, et 
$$
R_{\vec{n}}(\theta) = {\mathrm{e}}^{-i \frac{\theta}{2} (n_x X + n_y Y + n_z Z)}.
$$

La matrice unitaire $R_{\vec{n}}(\theta)$ est appelée un *opérateur de rotation*. 
Ce nom est justifié par le fait suivant : *si $\psi \in \mathbb{C}^2$ est un qubit, alors la représentation de $R_{\vec{n}}(\theta) \psi$ sur la sphère de Bloch est l'image de la représentation de $\psi$ sur la sphère de Bloch par la rotation d'angle $\theta$ et d'axe dirigé par le vecteur unitaire $\vec{n}$*. 

Le résultat annoncé en introduction découle de ce qui précède. 
Rappelons que la solution de [l'équation de Schrödinger](http://stla.github.io/stlapblog/posts/PrQuantique_Intro.html) 
$$
\frac{{\mathrm{d}}\psi(t)}{{\mathrm{d}}t} = -{\mathrm{i}}{\mathcal{H}}\psi(t)
$$
est
$$
\psi(t) = U_t\psi(0)
\quad \text{où} \;
U_t = {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}t{\mathcal{H}}}.
$$
Donc, si on écrit la décomposition du Hamiltonien ${\cal H}$ dans la base constituée par la matrice $I$ et les matrices de Pauli, 
$$
{\cal H} = aI + b_x X + b_y Y + b_z Z
$$
on a, avec les notations précédentes, 
$$
U_t = {\mathrm{e}}^{-it a} R_{\vec{n}}(2\lambda t),
$$
et donc, à un facteur de phase près, $\psi(t)$ est égal à 
$$
R_{\vec{n}}(2\lambda t) \psi(0). 
$$
Ainsi, la représentation de $\psi(t)$ sur la sphère de Bloch parcourt un cercle, en tournant autour de l'axe $\vec{n}$ selon un angle qui évolue linéairement en $t$.